Развитие умения осуществлять построение моделей у учащихся при обучении математике в основной школе (Е.П. Матвеева)

 

На правах рукописи

 

Матвеева Елена Петровна

 

РАЗВИТИЕ УМЕНИЯ ОСУЩЕСТВЛЯТЬ ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ У УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

 

13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)

 

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

 

Екатеринбург – 2007

 

Работа выполнена в государственном общеобразовательном учреждении высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет»

 

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Мельников Юрий Борисович

 

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор Гейн Александр Георгиевич, ГОУ ВПО «Уральский государственный университет», доктор физико-математических наук, профессор Сидоров Валерий Евгеньевич, ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

 

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Омский государственный педагогический университет»

 

Ученый секретарь диссертационного совета Зуев П. В.

 

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

 

Актуальность исследования. Изменения в системе образования, последовательно проводимые в нашей стране, связаны с изменением его целей. Соответственно приоритетным направлением школы становится развитие индивидуальных возможностей и способностей каждого учащегося, развитие умений адекватно реагировать на быстро меняющиеся жизненные ситуации. В связи с этим является актуальной проблема подготовки выпускника общеобразовательной школы, умеющего моделировать свою деятельность, в том числе, целенаправленно анализировать входную информацию, переходить от одного ее вида представления к другому, строить модель деятельности, оценивать, контролировать и корректировать деятельность на основе априорной модели.

Математику, обладающую огромным арсеналом идей и методов, следует рассматривать в единстве систем развивающего знания и деятельности. Одним из универсальных методов использования математики является математическое моделирование. Применение его в обучении позволяет показать учащимся универсальность математического аппарата как средства описания разнообразных явлений и процессов. Важнейший этап моделирования ‑ это этап построения модели, поэтому особенно актуальным является овладение учащимися умением строить модели.

Философские аспекты моделирования, составляющие методологическую основу диссертационного исследования, рассматривались в работах Б.А. Глин-ского, В.В. Давыдова, В.А. Штофа и др. В этих исследованиях отмечено, что моделирование является аппаратом анализа явлений природы, методом научного познания, направленного на изучение различных явлений и процессов действительного мира.

Психологические проблемы моделирования нашли своё отражение в работах Н.М. Амосова, В.В. Давыдова, Л.Г. Корякина, Н.Г. Салминой и др. В исследованиях этих авторов отмечается, что моделирование является средством познания и осмысления нового знания. При этом модель рассматривается как продукт психической деятельности, а сам процесс моделирования понимается как процесс воспроизведения определённых сторон, свойств, стереотипов.

В теории и методике обучения математике (Л.М. Фридман, Л.Г. Петерсон, И.А. Кузнецова, С.И. Мещерякова, М.О. Рослова и др.), к сожалению, нет целостного представления о моделировании, и на сегодняшний день существуют лишь разработки отдельных аспектов этого процесса, которые раскрывают моделирование как содержание, необходимое для усвоения учащимися, и как учебное действие, заключающееся в выявлении существенных сторон изучаемых явлений. Исследователями отмечается эффективность использования моделирования при формировании системы знаний в учебном процессе (В.А. Далингер, В.Г. Разумовский), как средства дифференцированного подхода в обучении (Г.И. Саранцев, Р.А. Утеева, О.В. Баринова) как средства формирования обобщенных приемов учебной деятельности (О.Б. Епишева, В.И Крупич) и организации исследовательской учебной деятельности (Д. Пойа, В.А. Далингер).

Однако, в научно-методических исследованиях, посвященных обучению школьников построению моделей при изучении математики, этому вопросу не уделяется должного внимания.

Анализ нормативных документов Министерства образования и науки РФ и исследование проблемы обучения моделированию как деятельности в контексте вышесказанного позволил выявить следующие противоречия:

– на социально-педагогическом уровне – между социально-обусловленными требованиями общества к выпускнику школы, выражающимися, в частности, в необходимости овладения умением моделировать, и недостаточной ориентацией образовательных учреждений на формирование у школьников умения моделировать свою деятельность для разрешения проблем, возникающих в жизни;

– на научно-педагогическом уровне – между необходимостью овладения учащимися общеучебными методами познания, в частности, моделированием как универсальным методом и недостаточной разработанностью в педагогической теории формирования методологических умений учащихся;

– на научно-методическом уровне – между высоким потенциалом содержания школьного математического образования для формирования умений моделировать и недостаточной разработанностью методики обучения математике, ориентированной на целенаправленное развитие умения учащихся осуществлять построение моделей в курсе математики основной школы.

Необходимость разрешения выявленных противоречий определила тему диссертационного исследования «Развитие умения осуществлять построение моделей у учащихся при обучении математике в основной школе» и его проблему: «как развить умение учащихся осуществлять построение моделей при обучении математике в основной школе?»

Объект исследования: процесс обучения математике в основной школе.

Предмет исследования: развитие умения осуществлять построение моделей у учащихся при обучении математике.

Цель исследования: научное обоснование и разработка методики развития умения осуществлять построение моделей у учащихся основной школы при обучении математике.

Гипотеза исследования: развитие у школьников умения осуществлять построение моделей будет успешным, если в процессе обучения математике деятельность учителя будет направлена на:

– осознание учащимися значимости умения осуществлять построение модели;

– обеспечение единства формирования теоретических знаний и развития практического умения осуществлять построение моделей;

– реализацию обобщенного подхода к изучению математических объектов на основе построения моделей.

Проблема, цель, гипотеза исследования определили следующие задачи:

1. Провести анализ нормативных документов, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме обучения построению моделей в основной школе и наметить пути ее решения.

2. Уточнить понятие «умение строить модель», определить его структуру и основные действия учащихся, необходимые для реализации умения.

3. Выделить уровни сформированности у учащихся умений выполнять действия по построению модели и определить их критерии.

4. Разработать методику развития умения школьников осуществлять построение моделей в процессе обучения математике в основной школе.

5. Экспериментально проверить успешность разработанной методики в учебном процессе.

Теоретической основой исследования служат:

– философские и психолого-педагогические учения о модели, моделировании и их использовании в процессе обучения (Б.А. Глинский, В.А. Штоф, Н.М. Амосов, В.В. Давыдов, Л.Г. Корякин С.Л. Рубинштейн, М.А. Холодная, И.С. Якиманская, С.Ф. Горбов, Е.В. Чудинова и др.);

– теоретические исследования проблем обучения моделированию (Л.М. Фридман, А.Г. Мордкович, А.Г. Гейн, Ю.Б. Мельников, И.А. Кузнецова, С.И. Мещерякова, Л.Г. Петерсон, И.Н. Семенова и др.);

– теоретические исследования проблем применения деятельностного подхода в обучении (В.В. Давыдов, О.Б. Епишева, В.И. Крупич и др.), обучения исследовательской деятельности (Д. Пойа, В.А. Далингер и др.).

Методологической основой исследования явились:

– работы, посвященные исследованиям по вопросам организации деятельности учащихся при обучении моделированию (И.А. Кузнецова, А.Г. Мордкович, С.И. Мещерякова, Ю.Б. Мельников, Л.Г. Петерсон, Г.И. Саранцев и др.);

– концепции и идеи деятельностного подхода в обучении математике (О.Б. Епишева, В.И. Крупич и др.);

– психолого-педагогические основы обучения математике (Б.Г.Ананьев, П.Беспалько, В.В. Давыдов, В.А.Крутецкий, А.А.Леонтьев и др.).

Решение поставленных задач осуществлялось с использованием следующих методов исследования: изучение и анализ психолого-педагогической, дидактико-методической литературы по проблеме исследования (анализ программ по математике и циклам специальных дисциплин, стандартов, квалифицированных требований, учебных и учебно-методических пособий, дидактических материалов по математике и специальным дисциплинам); моделирование учебной деятельности учащегося; беседа, анкетирование учащихся и преподавателей, наблюдение за ходом учебного процесса; статистическая обработка результатов опытно-поисковой работы; качественный анализ результатов исследования.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

1. В отличие от работы Н.А Жигачевой, исследовавшей графовое моделирование структур решения сюжетных задач, в данной работе решена проблема развития у учащихся основной школы умения осуществлять построение моделей при обучении математике на основе представления математических объектов в качестве моделируемых.

2. Разработана методика развития умения учащихся основной школы осуществлять построение моделей при изучении содержания курса математики, которая включает: организацию деятельности учащихся, направленную на осознание ими значимости этого умения; деятельность учителя, обеспечивающую единство формирования теоретических знаний и развитие практического умения осуществлять построение моделей; реализацию обобщенного подхода к изучению математических объектов на основе построения моделей.

3. Создан комплекс учебных заданий для школьников, использование которого в процессе обучения математике позволяет реализовать методику развития умения осуществлять построение моделей.

4. Разработана методика оценки уровней сформированности умения школьников осуществлять построение моделей, включающая шкалу оценивания уровня сформированности у учащихся умения на основе критериев последовательности, полноты и осознанности выполнения действий.

Теоретическая значимость работы:

1. Выделены математические объекты (выражение, неравенство, определение, теорема и т.д.) и обоснована целесообразность их применения в качестве моделируемых на первом этапе развития умения школьников осуществлять построение моделей.

2. Предложены три уровня сформированности умения осуществлять построение моделей, дифференциация которых произведена по степени самостоятельности и осознанности деятельности учащихся по построению модели.

3. Обосновано, что обобщенный подход к построению моделей заключается в создании условий, одним из которых является реализация комплекса действий учащегося: определение цели учебного задания (построения модели); выделение элементов модели в соответствии с целью; создание системы характеристик модели; составление системы отношений модели; сопоставление цели и результата выполнения учебного задания на основе использования модели, созданной учащимся.

Практическая значимость исследования:

1. Разработаны и внедрены в учебный процесс методические рекомендации для учителей математики «Развитие умения осуществлять построение моделей у учащихся при обучении математике в основной школе».

2. Разработаны методические рекомендации для проведения диагностики уровней сформированности у учащихся умений осуществлять построение моделей в процессе обучения математике.

3. Разработан курс по выбору для учащихся 5-го класса, направленный на развитие у школьников умения осуществлять построение моделей.

Материалы исследования могут быть использованы для разработки частных методик.

Достоверность результатов исследования и обоснованность сделанных на их основе выводов обеспечиваются: 1) анализом нормативных документов, психолого-педагогической, методической литературы и учебного процесса; 2) использованием методов исследования, адекватных поставленным задачам; 3) последовательным проведением этапов опытно-поисковой работы, показавшим эффективность разработанной методики; 4) результатами обсуждения на семинарах кафедры преподавания математики Уральского государственного педагогического университета (УрГПУ), международных и региональных конференциях преподавателей педагогических ВУЗов и конференциях учителей.

Апробация и внедрение основных идей и результатов исследования осуществлялись в ходе опытно-поисковой работы автора на базе школы № 170 г. Екатеринбурга, докладывались и обсуждались: на V Всероссийской научно-практической конференции (г.Орел, 2004); на Всероссийской научно-практической конференции (г.Волгоград, 2004); на III Всероссийской научно-практической конференции (г.Москва ‑ Челябинск, 2005); на XXIV XXV и Всероссийских семинарах преподавателей математики университетов и педагогических вузов (г.Саратов, 2005, г.Киров, 2006); на городских научно-практических конференциях (г.Екатеринбург, 2005, 2007); конференции УГТУ-УПИ (г.Екатеринбург,2005); на II научно-практической конференции (г.Екатеринбург, 2006); на семинарах кафедры методики преподавания математики УрГПУ; изданы в сборнике научных статей «Наука и образование» вып. 22. г.Омск, 2004; «Омский научный вестник» 2006. №8 (45); «Образование и наука», приложение №6 (10), сентябрь 2007.

Логика и этапы исследования. Исследование проводилось с 2001 по 2006 годы и включало несколько этапов.

На первом этапе (2001-2003г.) изучались и анализировались нормативные документы, психологические, педагогические и методические работы с целью установления степени научной разработанности проблемы исследования. Проведение констатирующего этапа опытно-поисковой работы позволило выявить структуру и содержание методики развития у школьников умения осуществлять построение моделей в процессе обучения математике.

На втором этапе (2003-2004 г.) была разработана методика диагностики достижений учащихся, предложены методические рекомендации для учителей математики общеобразовательных школ с целью формирования у школьников умения осуществлять построение моделей.

На третьем этапе (2004-2006 г.) проводились использование и корректировка методических рекомендаций для учителей математики. Осуществлялась экспериментальная проверка успешности разработанной методики, оформлялись результаты опытно-экспериментальной работы, и проводился их анализ.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Развитие у школьников умения осуществлять построение моделей в процессе обучения математике следует рассматривать как один из способов формирования и развития у школьников обобщенных познавательных умений, обладающих свойством широкого переноса и позволяющих выпускнику школы решать проблемы, возникающие в жизни и профессиональной деятельности.

2. Методика развития у школьников умения осуществлять построение моделей должна основываться на применении в практике обучения математике обобщенного подхода к построению моделей, заключающегося в создании необходимых условий, основными из которых являются:

– реализация учащимся комплекса действий по построению модели;

– использование математических объектов (определений, теорем и т.д.) в качестве моделируемых на первом этапе формирования у школьников умения осуществлять построение моделей;

– расширение информационной базы моделей на втором этапе за счет включения в моделируемые объекты текстовых задач.

3. Комплекс действий, необходимый для реализации умения осуществлять построение модели, состоит из определения цели учебного задания, выделения элементов модели в соответствии с целью, создания системы характеристик модели, составления системы отношений модели, сопоставления цели и результата выполнения учебного задания на основе использования модели.

4. Предложенная методика развития умения осуществлять построение моделей обладает возможностью использования ее на всех ступенях образования в процессе обучения математике, так как все ее элементы имеют свойства широкого переноса.

Структура и объем диссертации. Построение диссертации и логика ее изложения отражает последовательность решения основных задач исследования. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка, включающего 181 источник.

 

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

 

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель, определены объект, предмет и задачи исследования; изложены его методологические основы; рассмотрены методы и этапы исследования; отмечены его научная новизна, теоретическая и практическая значимость; приведены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Теоретические основы обучения моделированию при изучении школьного курса математики» посвящена исследованию образова-тельной функции моделирования и выделению теоретической базы обучения моделированию с позиций достижения целей основной школы, направленных на овладение обучающимися универсальными умениями, в частности ‑ построением моделей.

В исследовании приведен анализ философской, психолого-педагогической литературы, посвященной моделированию как методу познания, понятия модели, в том числе математической (Б.А. Глинский, В.В. Давыдов, И.А. Куз-нецова, А.А. Самарский, В.А. Штоф и др.). В результате было отмечено, что проблема обучения моделированию состоит именно в недостаточности целенаправленного развития умения моделировать в курсе общеобразовательной школы (С.Ф. Горбов , С.И. Мещерякова).

Для определения уровня разработанности существующих методик обучения учащихся построению модели в исследовании рассмотрены подходы разных авторов к обучению моделированию в курсе изучения математики (В.В. Давыдов, Н.А Жигачева, П.В. Кийко, А.Г. Мордкович, Л.Г. Петерсон, Л.М. Фридман и др.). Предлагаемые авторами механизмы обучения моделированию используются ими как один из компонентов методики. Сравнение отдельных методик (А.Г. Мордкович, И.Г. Обойщикова, Л.Г. Петерсон, Н.Г. Салмина, Н.Ф. Талызина и др.) с точки зрения обучения моделированию показало, что в них 1) основными формами представления модели являются графические изображения, функции, формулы, уравнения; 2) метод моделирования используется на этапе получения общей формулы различных процессов, в том числе для их исследования, для обучения решению текстовых задач, как иллюстрация математического представления реального процесса. В то же время в рассмотренных методиках этап построения модели рассматривается в основном на конкретных примерах решения текстовых задач или получения общей формулы, но механизм построения модели остается нераскрытым.

На основе анализа методической литературы и результатов диссертационных работ по методике обучения математике сделан вывод, что развитие умения школьников осуществлять построение модели до настоящего времени не являлось предметом специального исследования.

Сформулирован вывод о недостаточной формализации используемых в методиках понятиях модели, что затрудняет выделение действий, необходимых для построения модели. Наиболее целесообразным с этой точки зрения является понимание модели, предложенной Ю.Б. Мельниковым, который считает, что модель представляет собой систему из двух компонентов: интерфейсного и модельно-содержательного, состоящего, в свою очередь, из трех компонентов: носителя, системы характеристик и системы отношений. Данная структура содержит систему связей и формулу (уравнение и т.д.) в качестве отношения и позволяет выделить комплекс действий, необходимых для построения модели.

Умение учащихся формируется и проявляется в деятельности. Поэтому для выделения необходимого комплекса действий, кроме формально-конструктивного определения модели, были использованы основные положения деятельностного подхода к обучению математике. С целью выделения структуры умения в работы мы исходили из того, что первоначально на основе имеющихся у ученика знаний формируется умение как способ выполнения действия при активном регулировании процесса сознанием. Целенаправленное применение выделенного комплекса действий на учебном материале позволяет учащимся приобретать опыт работы по построению моделей, т.е. расширять информационную базу моделей; переходить на новый уровень сформированности действий. В связи с этим было определено, что умение осуществлять построение моделей является сложным умением, состоящим из двух компонентов: деятельностного компонента (комплекс действий) и содержательного компонента (накопленные знания о моделях и моделировании). В зависимости от психофизиологических особенностей учащихся содержательный и деятельностный компоненты формируются и развиваются на конкретном учебном материале.

Учебный материал содержит математические объекты, которые обладают наибольшей перспективностью использования их для формализации (позволяют выделять элементы, системы характеристик и отношений; сопоставлять цель и результат деятельности) и не содержат информации, переключающей внимание учащихся с моделируемого объекта. К таковым можно отнести определения, теоремы, выражения и т.д. В соответствии с этим в исследовании обоснована перспективность использования математических объектов в качестве моделируемых для целенаправленного формирования и развития у школьников умения осуществлять построение моделей.

Таким образом, учебный материал должен использоваться для обучения учащихся деятельности построения модели, и построенные модели могут использоваться для изучения учебного материала.

Во второй главе «Развитие умения школьников осуществлять построение моделей в процессе обучения математике» описаны основные компоненты методики развития у школьников умения осуществлять построение моделей.

В исследовании обоснована необходимость формулирования целей обучения в соответствии с требованиями диагностичности, индивидуальной и потенциальной значимости для учащегося, определенности этих целей во времени, что позволяет целенаправленно планировать развитие умения школьников осуществлять построение моделей.

Отбор содержания учебного предмета «Математика» целесообразно проводить на основе принципов целостности (обеспечение процессов формирования теоретических знаний модельного характера и развития практического умения осуществлять построение модели); универсальности (аналогичное представление теоретического и практического материала в виде моделей внутри каждой содержательной линии), индивидуальной значимости деятельности (отбор учебных заданий в соответствии с индивидуальными потребностями) и критерия связи учебного материала с использованием представления окружающего мира в виде моделей.

Учитывая возрастные особенности учащихся 5-8-ых классов, формально-конструктивное определение модели следует вводить латентно, предлагая школьникам лишь осуществлять комплекс действий, необходимых для построения модели. Для формирования у учащихся 5-ых классов начального представления о модели следует использовать трактовку А.Н. Тихонова, который считает, что математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Введение понятия модели должно сопровождаться примерами моделей из окружающей среды и учебной деятельности (модель машины, глобус и т.д.). В 6-8-ых классах понятие модели обогащается за счет введения классификации моделей, знакомства с моделями новых учебных предметов (химия, физика), построения моделей математических объектов. В 9 классе для дальнейшего формирования понятия модели следует ввести структуру модели, предложенную Ю.Б Мельниковым.

Выбор методов и средств реализации предложенной методики должен проводиться с учетом психофизиологических особенностей учащихся, т.е. адекватности их познавательным потребностям и возрастным особенностям учащихся. В диссертационном исследовании представлен комплекс обобщенных типов задач, направленных на формирование действий, необходимых для реализации умения осуществлять построение моделей. Данный комплекс предполагает систематическое использование заданий к учебным задачам с целью: построения и преобразования модели для выявления ее свойств; формирования умения ставить цель; выявления различных способов решения задачи и определения их рациональности, анализа результата, контроля и оценки деятельности. Так, для формирования умения выделять систему характеристик могут быть предложены следующие задания: сформулируйте признак, по которому сгруппированы данные формулировки (выражения и т.д.); определите, как изменится решение, если удалить один из компонентов задачи и т.д.

Для организации учебно-познавательной деятельности учащихся и обеспечения ее успешности были сформулированы требования целенаправленности (результатом обучения должна стать успешная деятельность по построению модели, а не отдельно выполняемые действии); системности (последовательная и систематическая деятельность, направленная на переход учащегося на следующий уровень развития умения осуществлять построение модели); самоопределения учащегося в выборе вида учебной деятельности для построения и представления модели; рефлексивности (контроль и коррекция развития умения включают в себя рефлексию учащегося, которую он должен выполнять по аналогии с действиями, включенными в умение осуществлять построение модели); осознания учащимисянеобходимости использования моделирования в жизни и профессиональной деятельности как универсального метода познания.

Развитие самостоятельной познавательной деятельности идет по следующей схеме: исполнительская – активно исполнительская – активно самостоятельная – творчески самостоятельная. Формирование умения осуществлять построение моделей у учащихся 5-6-ых классах целесообразно организовывать путем подражания действию учителя (действия и рассуждения выполняются по аналогии). Элементами творческой деятельности могут явиться составление игры, сочинение сказки (текста задачи) по модели или ее компонентам. В 7-9-ых классах деятельность учащихся по построению моделей уже можно охарактеризовать как активную (исполнительскую и самостоятельную), поэтому целесообразно применять частично-поисковые методы обучения. К окончанию 9-го класса актуальным становится самостоятельный выбор учащимися способа построения и представления модели. Например, при изучении темы «Движение» (геометрия) после вводного курса лекций учащимся предлагается на выбор построение модели одного из видов движения, применение вида движения в типовых задачах (в архитектуре, искусстве и т.д.) и представление ее в виде сообщения (письменного, устного), компьютерной презентации или в свободной форме.

На основе выделенных целей обучения, возрастных особенностей учащихся, их познавательных потребностей определены этапы формирования

умения осуществлять построение модели: 1) мотивационно-репродуктивный, на котором осуществляется неосознанное (под руководством учителя) формирование отдельных действий, составляющих умение осуществлять построение моделей, и комплекса действий в целом (5-6-е классы); 2) осознанно-репродуктивный, целью которого является осознание учащимся необходимости формализации за счет применения комплекса действий в знакомых ситуациях, приводящего к формированию умения строить модель и развитию представления о модели (6-8-е классы); 3) основной, характеризующийся доведением у учащегося умения осуществлять построение модели до стадии применения в субъективно новых ситуациях (8-9-е классы).

На каждом из этапов учащиеся достигают определенного уровня сформированности или развития каждого действия, составляющего деятельностный компонент умения. Анализ работ В.П. Беспалько, О.Б. Епишевой, Г.В. Репкиной, Е.В. Заики позволил выделить уровни сформированности у учащихся деятельностного компонента умения осуществлять построение моделей (таблица 1).

Поэтапное развитие содержательного компонента умения осуществлять построение модели показано в таблице 2.

Диагностика оценки уровня сформированности умения осуществлять построение модели проводилась с 5-го по 9-ый класс. Для этого использовалась количественная оценка с помощью коэффициента сформированности действий  на основе выделенных уровней сформированности умений выполнять действия каждым учащимся. Если каждому из уровней формируемого действия присвоить показатель сложности от 1 до 3, то  можно вычислить по соответствующим формулам:

на I этапе ‑ ; на II этапе ‑ , на III этапе ‑ , где ui– сложностьi-го уровня, n – количество невыполненных действий. Усвоенными будем считать действия, которые выполняются учащимися в полном объеме и в последовательности, соответствующей требованиям. Уровень сформированности умения можно оценить по таблице 3. Эти уровни можно интерпретировать как уровни представления учащимися результата построения модели по приведенной в таблице 3 шкале: низкий (учащийся затрудняется в выборе варианта представления результата), средний (учащийся четко представляет вариант представления результата ранее выполняемых заданий), высокий (учащийся способен представить результат субъективно нового задания или способен найти несколько вариантов его представления). Сформированность содержательного компонента умения следует проверять с помощью контрольных работ, составленных согласно таблице 2.

Для повышения достоверности оценки уровня сформированности умения осуществлять построение моделей применялись методы: наблюдение, анкетирование, использование тестов самодиагностики. По результатам диагностики учитель определяет средства корректировки процесса обучения для успешного развития у учащихся умения осуществлять построение моделей.

В третьей главе «Организация проведения опытно-поисковой работы, оценка и анализ ее результатов» приведено содержание опытно-поисковой работы и изложены ее результаты.

Опытно-поисковая работа осуществлялась в три этапа в течение 2001-2006 г.: констатирующий (2001-2003г.); формирующий (2003-2004г.), контрольно-оценочный (2004-2006г.) Ее целью являлась проверка эффективности разработанной методики развития у школьников умения осуществлять построение моделей в процессе обучения математике. В выполнении работы участвовали учителя математики и учащиеся МОУ СОШ №№ 170, 17, 29 г. Екатеринбург и школы № 45 поселка Шаля. Всего 8 учителей математики, 325 десятиклассника, 404 учащихся 6-7 классов. Объем выборки на заключительном этапе исследования составил 114 человек, что является достаточным для репрезентативности результатов и обеспечения применимости использованных в работе статистических методов.

На констатирующем этапе опытно-поисковой работы выявлялось состояние проблемы формирования у школьников умения моделировать. Для этого в 2003 году было проведено анкетирование учителей математики, физики, химии, биологии и учащихся 10-го класса с целью выяснить их отношение к использованию понятия модели и метода моделирования в обучении. Анализ анкет учителей математики позволил установить, что роль моделирования в процессе обучения осознается ими (100%), но моделирование как метод применяется только при решении текстовых задач (100%); термин «модель» редко используется на уроках (18%). Термин «модель» употребляют на уроках учителями физики (92%), химии (86%) и биологии (89%), но само понятие модели не вводится. Большинство опрошенных учителей (87%) отметили, что испытывают потребность в использовании моделирования как метода познания, но практически не применяют его. Анкетирование учащихся 10-х классов показало, что под математической моделью понимают «уравнение, формулу, закон, макет» (27%), «выражение существенных признаков» (12%). Применяют ее на уроках информатики - 98%, физики - 93%; химии - 74%, при решении текстовых задач на математике - 14%. Диагностическое тестирование, которое проводилось среди десятиклассников с целью проверки выполнения действий, составляющих умение осуществлять построение модели, показало невысокий уровень овладения ими. Таким образом, был сделан вывод о том, что при изучении предметов (математика, физика, химия, биология), имеющих высокий потенциал для обучения учащихся моделированию, умение строить модель у школьников не формируется целенаправленно.

Для проверки успешности применения разрабатываемой методики, выявления ее недостатков, корректировки и устранения были выбраны экспериментальные и контрольные группы учащихся 6-7-ых классов с близким уровнем обученности, проведено анкетирование школьников для выявления познавательных потребностей, диагностические тесты на определение уровней интеллекта, обучаемости и сформированности умения осуществлять построение моделей.

Учащимся экспериментальных классов предлагались разные по сложности задания с целью: построить модели математических объектов (выражений, формул и т.д.); определить цель учебной задачи; выделить элементы в связи с изменением цели; найти закономерности числовых и геометрических рядов; найти несколькими способами решение задачи и обосновать выбора одного из них, проанализировать текст учебной задачи для нахождения общего и различного, предсказать результат в зависимости от изменения цели задания с использованием комплекса задач для формирования действий, составляющих умение школьников осуществлять построение моделей.

В соответствии с предложенной во второй главе диагностикой с целью оценки изменений уровней интеллекта индивидуальных познавательных потребностей и сформированности умения осуществлять построение моделей были применены методы наблюдения, анкетирования, диагностического тестирования. Анализ полученных результатов показал положительную тенденцию изменения в достижении уровней сформированности умения осуществлять построение моделей в экспериментальных группах (рис. 1).

Рис. 1. Распределение учащихся по уровням сформированности умения осуществлять построение модели при первичном и вторичном контроле

На третьем этапе опытно-поисковой работы проводились контроль и оценка полученных результатов. Итогом данного этапа исследования явилось обобщение результатов и формулировка выводов.

Для оценки успешности предложенной методики на начальной и конечной стадиях в экспериментальных классах были проанализированы следующие показатели: уровни сформированности у учащихся интеллекта (тесты: «числовые ряды» и «логические задачи»); обучаемость (тест В.П. Беспалько), обученность (успеваемость по предмету). Результаты педагогической диагностики представлены в таблице 4 и на рисунке 1.

В качестве метода математической обработки результатов опытно-поисковой работы был использован один из методов проверки статистических гипотез – критерий Пирсона χ2. Выбранный критерий Пирсона позволил ответить на вопрос: закономерно ли различие в распределении частот, с которыми встречаются разные значения уровней сформированности умений осуществлять построение моделей (деятельностный компонент)? В результате проведенных расчетов экспериментальное значение критерия Пирсона получилось равным для умения выделять цель - 8,959; для умения выделять элементы - 10,588; для умения выделять систему характеристик - 8,431; для умения выделять систему отношений - 9,354; для умения сопоставлять цель и результат - 10,125 (что больше контрольного значения). Это позволяет сделать вывод о достоверности различий в сформированности у школьников умения осуществлять построение моделей в экспериментальной и контрольной группах.

Проведенный статистический анализ результатов опытно-поисковой работы позволил подтвердить гипотезу исследования, в связи с чем можно сделать следующий вывод: разработанная методика обучения математике учащихся основной школы позволяет развить умение осуществлять построение моделей, что способствует формированию и развитию обобщенных познавательных умений, обладающих свойством широкого переноса.

В заключении представлены основные результаты и выводы исследования:

1. Проведенный анализ теоретических и методических подходов к решению проблемы целенаправленного обучения моделированию как деятельности при изучении содержания школьного курса математики позволил сделать вывод о том, что его основой является обучение учащихся построению моделей. Доказано положение о том, что на первом этапе развития умения школьников осуществлять построение моделей для его формирования в качестве моделируемых следует использовать математические объекты (определения, теоремы, выражения и т.д.). На втором этапе для расширения информационной базы моделей в моделируемые объекты должны быть включены текстовые задач.

2. На основе уточнения понятия «умение строить модель» определена его структура (деятельностный и содержательный компоненты). Выделены действия, которые необходимы для реализации умения школьников осуществлять построение моделей, и составляющие деятельностный компонент умения (определение цели построения модели; выделение элементов учебного задания; выделение системы характеристик модели; составление системы отношений модели; сопоставление цели и результата учебного задания).

3. Для развития у школьников умения осуществлять построение моделей при изучении содержания школьного курса математики разработана методика обучения математике на основе сформулированных требований к ее элементам (цели должны быть диагностичными, индивидуально и потенциально значимы для учащегося и определены во времени; отбор содержания и выбор методов и средств обучения необходимо производить на основе принципов целостности и универсальности, индивидуальной значимости деятельности и критерия связи учебного материала с представлением окружающего мира в виде моделей; контроль и оценку сформированности умений целесообразно осуществлять с использованием количественных методов).

4. Адекватность оценки сформированности уровней умения школьников осуществлять построение моделей (низкий, средний, высокий) может быть достигнута на основе следующих критериев: последовательности, полноты и осознанности выполнения действий, составляющих умение.

5. Использование основных положений деятельностного подхода в обучении позволило создать комплекс учебных заданий для школьников, применение которого позволяет формировать каждое из действий, составляющих умение учащихся осуществлять построение моделей. Для развития у школьников 5-го класса умения осуществлять построение моделей разработан курс по выбору и методические рекомендации.

6. Успешность предлагаемой методики развития умения школьников осуществлять построение моделей в процессе обучения математике подтверждена результатами опытно-поисковой работы, проводившейся в течение 2001-2006г.

Основные положения и выводы диссертации нашли отражение в 16 публикациях:

Работы, опубликованные в рецензируемых научных изданиях,

 определенных ВАК МО и НРФ

1. Матвеева Е.П. Стратегии как механизм построения планов-целей и преобразование их в планы предписания / Е.П. Матвеева, Г.В. Ваганова, Ю.Б. Мельников // Омский научный вестник. 2006. №8 (45). - С. 68-71. (35% авторских).
2. Матвеева Е.П. Математическое моделирование: обучение переводу информации на язык равенств и неравенств. / Е.П. Матвеева, Г.В. Ваганова, Ю.Б. Мельников // Образование и наука.: Известия Уральского отделения Российской Академии образования. 2007. №6 (10). - С. 45-55. (35% авторских).

Работы, опубликованные в других изданиях

1. Матвеева Е.П. Обучение построению математической модели как средство формирования профессиональной компетентности / Е.П. Матвеева, Г.В. Ваганова, Ю.Б. Мельников // Наука образования: Сб. научных статей. Вып. 22. - Омск: Изд-во ОмПГУ, 2004. - С.227-231. (35% авторских).
2. Матвеева Е.П. О проблеме подготовки студентов педагогических вузов к обучению школьников построению и анализу математических моделей / Е.П. Матвеева, Мельников Ю.Б. // Качество педагогического образования. Сельский учитель. Труды V Всерос. научно-практ. конференции. Т. 1. - Орел: ГОУ ВПО ОГУ, 2004. - С.144-147 (50% авторских).
3. Матвеева Е.П. Об обучении моделированию в школьном курсе математики / Е.П. Матвеева // Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации российского образования: материалы Всерос. науч.-практ. конф. Волгоград, 26 окт. 2004г./ Волгогр. гос. пед. ун-т; - Волгоград: Перемена, 2004. - С.157-161.
4. Матвеева Е.П. О формировании исследовательских стратегий при обучении математическому моделированию в школьном курсе математики / Е.П. Матвеева // Психолого-педагогические исследования в системе образования: материалы Всерос. научно-практ. конференции: В 7 ч. ч. 6/Акад.повыш.квалиф. и прф. перепод. раб. обр.; Южно-Уральск. гос. ун-т; Челяб. Ин-т доп. Проф.-пед. образ.; Отв. Ред. Д.Ф. Ильясов. - Москва – Челябинск: Изд-во Образование, 2005. - С.227-231.
5. Матвеева Е.П. О переводе информации из одного вида в другой / Е.П. Матвеева // Современные проблемы школьного и вузовского математического образования: Тез. докл. XXIV Всерос. Семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов/Под ред. А.Г. Мордковича, И.К. Кондоуровой. - М.; Саратов: Ред.-изд. отдел Моск. гор. пед. ун-та, Издво Сарат. ун-та, 2005. - С.183-184.
6. Матвеева Е.П. Проблема обучения моделированию – проблема технологии развития мышления или технологии развития личности / Е.П. Матвеева // Модернизация школьного математического образования: проблемы и пути реализации. Материалы город. НПК /Под ред. И.Н. Семеновой. - Екатеринбург, 2005. - С. 17-18.
7. Матвеева Е.П. Обучение математическому моделированию в школе/ Е.П. Матвеева // Областная научно-практическая конференция «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании». Тезисы докладов / ГОУ ВПО УГТУ-УПИ - Екатеринбург, 2005г. - С.17-18.
8. Матвеева Е.П. Формирование надпредметных умений и навыков при обучении математике / Е.П. Матвеева // Актуальные проблемы модернизации школьного математического образования: Материалы Всерос. Научно-практической конференции 21-23 сентября 2005г. - Барнаул: Изд-во БГПУ, 2005. - С.57-60.
9. Матвеева Е.П. Использование стратегии построения математической модели при изучении предметов гуманитарного цикла / Е.П. Матвеева // Проблемы и методика преподавания естественно-гуманитарных и математических дисциплин студентам гуманитарных специальнестей: Материалы научно-практ. конференции. / Изд-во Урал. Ун-ва, - Екатеринбург, 2005, - С.71-74.
10. Матвеева Е.П. Моделирование как средство адаптации школьника к ВУЗу / Е.П. Матвеева, Г.В. Ваганова //Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных класса: Материалы XXV Всерос. Семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов. ВятГГУ, МГПУ. – Киров, М., 2006. - С.45-46. (50% авторских).
11. Матвеева Е.П. Модель использования исследовательских стратегий / Е.П. Матвеева, Г.В. Ваганова, Ю.Б. Мельников // Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах: Материалы XXV Всерос. Семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов. - Киров, М.: ВятГГУ, МГПУ, 2006. - С.46-48. (35% авторских)
12. Матвеева Е.П. Обучение стратегии построения математической модели – условие успешности учебной деятельности / Е.П. Матвеева //Актуальные проблемы математики, механики, информатики: материалы Международной научно-метод. конференции./Перм. Гос. Ун-т; под ред. Л.Н. Лядовой, и др. - Пермь, 2006. - С.256-258.
13. Матвеева Е.П. Обучение стратегии построения математической модели – шаг в будущее школьной математике / Е.П. Матвеева // Современные методы физико-математичес-ких наук. Труды международ. конференции. 9-14 октября 2006г., г.Орел. Т.3. - Орел: Изд-во ОГУ, Полиграфическая фирма «Картуш», 2006г. - С.130-132.
14. Матвеева Е.П. Построение модели определения как способ обучения моделированию при изучении математики / Е.П. Матвеева // Проблемы и методика преподавания естественно-научных и математических дисциплин: Материалы II научно-практической конференции (Екатеринбург, декабрь 2006 г.). - Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2006. - С.65-68.