29.01.2012 17103

Комбинаторные задачи как средство развития мышления школьников

 

Развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения.

Если ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запоминает, а затем воспроизводит, то эту деятельность обычно называют репродуктивной. Основная цель такой деятельности - формирование у школьников знаний, умений, навыков, развитие внимания и памяти.

Психологи отмечают, что следствием такой деятельности является скованность мышления и стремление ребенка мыслить по готовым стереотипам. Такие особенности интеллектуальной деятельности связаны с показом образца действий и его закреплением в процессе выполнения однотипных заданий. В результате учащиеся усваивают только однотипные способы решения задач, успешно воспроизводят их, но не видят других вариантов решения, не могут их варьировать и преобразовывать.

Продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит свое выражение в таких мыслительных операциях как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение. Эти мыслительные операции в психолого-педагогической литературе принято называть логическими приемами мышления или приемами умственных действий.

Включение этих операций в процесс усвоения математического содержания - одно из важных условий построения развивающего обучения.

Организация развивающего обучения предполагает создание условий для овладения школьниками приемами умственной деятельности. Овладение ими обеспечивает не только новый уровень усвоения, но дает существенные сдвиги в умственном развитии ребенка. Овладев этими приемами, ученики становятся более самостоятельными в решении учебных задач, могут рационально строить свою деятельность по условию знаний.

Роль комбинаторных задач в формировании приемов умственной деятельности можно конкретизировать на примере комбинаторных заданий, которые ребенок выполняет на различных этапах обучения математике. Так, опираясь только на свой жизненный опыт, он легко справляется с таким заданием:

«Для детского сада, в котором 6 групп, нужно раскрасить грибочки и песочницы для каждой площадки так, чтобы они отличались друг от друга. У маляров только 3 краски: красная, желтая и зеленая. Давайте поможем малярам справиться с этой работой»

Для выполнения задания каждому ученику предлагается схематический рисунок, на котором изображены шесть песочниц с грибочками.

Обычно дети самостоятельно соотносят каждую краску с тем или иным элементом рисунка. Например: песочница красная, ножка грибка желтая, сам грибок зеленый. Если ученики затрудняются, то учитель сам может раскрасить первый рисунок. Вся дальнейшая деятельность связана с операциями анализа, синтеза, сравнения. При этом детям лучше предоставить самостоятельность в виде способа действия.

Примером комбинаторной задачи, выполнение которой требует не только использования приемов умственной деятельности, но и определенных знаний, может быть такое задание:

«Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 так, чтобы цифры в записи не повторялись». Ученик, анализируя условие, выделяет определенные части, составляет необходимые комбинации из трех цифр по две, получая таким образом двузначные числа. Он одновременно следит за тем, чтобы не было повторов. С другой стороны, в процессе синтеза ребенок определяет, что сначала можно составить комбинацию, начинающуюся с цифры 1 - это 12 и 13, потом с цифры 2 - это числа 21 и 23, а затем с цифры 3 - 31 и 32. Соотнося условие с требованием задачи, ученик не составляет чисел 11, 22, 33, т.к. они не удовлетворяют требованию.

На этом примере хорошо видно, что при поиске ответа на поставленный вопрос ученики не могут обойтись без наблюдения и сравнения. Наблюдение состоит в преднамеренном целенаправленном восприятии окружающей действительности. Если младшие школьники не будут специально, с определенной целью воспринимать информацию, заключенную в задаче, то вряд ли они смогут найти решение или вообще решить ее.

Сравнение - процесс выделения признаков, свойств объектов и установление сходства и различия между ними - позволяет ученику при составлении данных двузначных чисел избежать повторов, составить все возможные числа на основе сходства и различия между ними: 12 и 13, 21 и 23 и т.д.

На основе классификации ребенок «строит» такие комбинации: 12 13 и 21 23 и 31 32. Основание классификации - одинаковая цифра, обозначающая число десятков. Может быть другое основание - цифра, обозначающая число единиц 21 31 и 12 32 и 13 23.

При составлении комбинации из трех цифр ребенок проделывает это не наугад, а находит общее правило, закономерность (на первом месте одна и та же цифра может быть только два раза, то же самое и на втором месте).

Он обобщает, т.е. выделяет существенные признаки объектов, а также объединяет, группирует объекты на основе этих признаков. Теперь ученик сможет сразу определить (в другом задании) число комбинаций, если эти комбинации будут составляться без повторений из трех объектов по два элемента. Таким образом, появляется возможность говорить о развитии у младших школьников на основе решения комбинаторных задач содержательного обобщения, которое характеризуется следующими признаками:

1) оно выполняется при таком анализе конкретного факта (задачи), который обнаруживает внутреннюю связь его частных проявлений;

2) оно, исходя из этой связи, позволяет затем сразу обобщить все другие факты (задачи) данного круга, применить найденный способ решения в измененной или новой ситуации.

Взаимосвязь развития мышления и процесса усвоения знаний, умений и навыков обоснована в целом ряде психологических исследований. При этом мышление первоначально строится на чувственном познании, на восприятии и далее на самом высоком уровне и развитии не порывает с ними.

Мышление есть процесс, то есть познание в его динамике. Направленность мыслительного процесса на открытие неизвестного, обозначенного в вопросе, придает мышлению строго определенный, организованный и проблемный характер. Когда человек мыслит, он обязательно решает какую-то задачу. Не случайно еще СЛ. Рубинштейн говорил о том, что «мышление определяют нередко как процесс решения задач. Действительно, мышление возникает обычно из проблемной ситуации и направлено на ее разрешение». Но он указывал и на то, что «свести мышление к процессу решения задач - значит определить его прагматически, по тому эффекту, который оно дает, не вскрывая его собственной природы - того, благодаря чему этот эффект получается. Мышление разрешает встающую перед человеком задачу благодаря тому, что оно раскрывает не данные в условиях, неизвестные свойства и отношения объектов или явлений, входящих в проблемную ситуацию: мышление - это, по существу своему, познание, приводящее к решению встающих перед человеком проблем и задач»

Генетически наиболее ранней формой мышления является наглядно-действенное (предметно-действенное) мышление. Его определяют как «наиболее элементарную форму мышления, возникающую в практической деятельности и являющуюся основой для формирования более сложных форм мышления».

Существуют чрезвычайно сложные изменчивые и многообразные отношения мышления и практического действия, мышления и языка, мышления и чувственного образа. Эти отношения изменяются на разных ступенях возрастного развития детей и находятся в непосредственной связи с содержанием той задачи, которую они в данный момент решает.

Первым способом решения задачи для маленького ребенка является практическое действие. Его значение состоит в том, что ребенок, непосредственно воздействуя на вещи, раскрывает их свойства, выявляет признаки и, главное, раскрывает невидимые ему ранее связи, существующие как между вещами и явлениями, так и внутри каждого предмета и явления. Эти связи из скрытых становятся видимыми. Такой путь познания особенно эффективен в младших классах в изучении математики, где может быть использовано практическое действие как начальный путь познания комбинаторной задачи.

На понимании роли практического действия как начальной ступени процесса развития всех высших форм мышления человека построена концепция «поэтапного формирования умственного действия», разработанная П.Я. Гальпериным.

На первом этапе ребенок использует для решения задачи внешние материальные действия. На втором - эти действия только представляются и проговариваются ребенком (сначала громко, а затем про себя).

Лишь на последнем, третьем этапе внешнее предметное действие «сворачивается» и уходит во внутренний план. Для каждого этапа превращения развернутого материального действия в его свернутую умственную модель характерен определенный тип ориентировки ученика в условиях и содержании предложенной ему задачи. На высшем уровне такими ориентирами становятся существенные для данного типа задач опознавательные признаки обобщенного характера (они выражены в законах, понятиях).

С переходом мышления ребенка на следующую, более высокую ступень развития начальные его формы, в частности, практическое мышление, не исчезают, не «отмирают», но их функции в мыслительном процессе перестраиваются, изменяются.

С развитием речи и накоплением опыта ребенок переходит к мышлению образному. На первых порах этот более высокий вид мышления сохраняет у младшего школьника многие черты низшего вида. Это прежде всего обнаруживается в конкретности тех образов, которыми ребенок оперирует.

Наглядно-образное мышление - «это вид мышления, который необходимо опирается на восприятие или представления. Этот вид мышления характерен для дошкольников и отчасти детей младшего школьного возраста, а в развитых формах свойственен людям тех профессий, которые связаны с ярким и живым представлением тех или иных предметов или явлений (писателям, художникам, музыкантам, актерам)».

При наглядно-образном мышлении связь с практическими действиями хотя и сохраняется, но не является такой тесной прямой и непосредственной, как раньше. В ходе анализа и синтеза познаваемого объекта ребенок необязательно и далеко не всегда должен потрогать руками заинтересовавший его предмет. Во многих случаях не требуется систематического практического манипулирования с объектом, но во всех случаях необходимо отчетливо воспринимать и наглядно представлять этот объект.

Иначе говоря, дети 4-7 лет мыслят лишь наглядными образами и еще не владеют понятиями (в строгом смысле). Наглядно-образное мышление детей непосредственно и подчинено восприятию, и потому они пока не могут отвлечься с помощью понятий от некоторых свойств рассматриваемого предмета.

Существенные сдвиги в развитии мышления ребенка возникают в школьном возрасте, когда его ведущей деятельностью становится учение, направленное на усвоение систем понятий. Эти сдвиги выражаются в расширении круга объектов, над которыми думает школьник, в познании все более глубоких свойств предметов, в формировании необходимых для этого мыслительных операций, возникновении новых мотивов познавательной деятельности (более глубоких познавательных интересов, любознательности, осознания важности усвоения знаний и др.).

В процессе решения более сложных познавательных задач, стоящих перед младшими школьниками, мыслительные операции обобщаются, формализируются, благодаря чему расширяется диапазон их переноса и применения в различных новых ситуациях. Значительных успехов достигает развитие способности рассуждать, обосновывать свои суждения, доказывать истинность выводов, осознавать и контролировать процесс рассуждения, овладевать его общими методами, переходить от развернутых к свернутым формам, в которых обосновывающие суждения не формулируются, а подразумеваются, вследствие чего процесс мышления становится более экономным и продуктивным.

Развитие абстрактного мышления у школьников в ходе усвоения понятий вовсе не означает, что их наглядно-действенное и наглядно-образное мышление перестает теперь развиваться или вообще исчезает. А.В. Брушлинский и А.В. Петровский утверждают, что «эти первичные и исходные формы всякой мыслительной деятельности по-прежнему продолжают изменяться и совершенствоваться вместе с абстрактным мышлением и под его влиянием».

Исследования психологов 1960-90 гг. внесли существенные поправки в понимание ранних форм детского логического мышления. Среди этих поправок наиболее существенным является то, что логические ошибки, допускаемые детьми, не являются сплошными. Кроме того, опыт показывает, что детям 7-10 лет вполне доступно выделение существенных признаков, их распознавание в новых фактах и предметах, поиск и установление связей, группировка предметов по этим признакам, оперирование рядом понятий, переходы к обобщениям и выводам.

Таким образом, логическое мышление является высшей ступенью в умственном развитии ребенка, проходит длительный путь развития. На ранних ступенях развития ребенок накапливает чувственный опыт и учится решать практическим путем ряд конкретных, наглядных задач. Осваивая речь, он приобретает возможность формулировать задачу, задавать вопросы, которые позволяют ему овладеть понятиями и рядом умственных действий. Эти возможности должен использовать учитель, обучая детей с первого дня их работы в школе различным операциям и формам словесного мышления.

Младший школьный возраст сентезивен для интенсивного развития способностей действовать «в уме», поскольку в этот период формируются основные навыки учебной деятельности. Характеризуя новые качества психики, которые появляются у детей в это время, В.В. Давыдов пишет: «Чем больше «шагов» своих действий может предусмотреть ребенок и чем тщательнее он может сопоставлять их реальные варианты, тем более успешно он будет контролировать фактическое решение задачи»

Итак, под внутренним планом действия понимают возможность ребенка действовать «в уме». А.А. Зак считает, что под умственным действиями обычно понимают такие, которые выполняются во внутреннем, мысленном плане, без опоры на внешние средства. Однако в рассмотрении действии «в уме» нельзя полностью отказываться от внешних опор. В ряде психологических исследований было отмечено, что действие может быть «внутренним» в форме протекания (выполняется «про себя», «в уме»), но быть предметным по способу выполнения (опора на предметные действия). Действительно, при решении такой простой задачи: «Сколько различных пирамид из колечек красного, синего и зеленого цвета можно составить так, чтобы на каждой все колечки были разного цвета?» - младший школьник, знакомый с приемом системного перебора сначала определит для себя, что каждая пирамида будет состоять из трех элементов -колечек (их всего три цвета). Каждое колечко может побывать на первом, втором и третьем «этаже» 2 раза: если на первом «этаже» - красное, то на втором - синее или зеленое, на третьем опять же зеленое или синее. Таким образом, ученик мысленно осуществляет поиск решения, планирует, собирая пирамидку с опорой на предметные действия.

Роль предметных действий могут выполнять конкретные предметы, рисунки или символические записи:

3 С 3 К С К

С 3 К 3 К С

К К С С 3 3

На примере этой задачи можно проиллюстрировать два основных компонента внутреннего плана действий.

1) возможность ученика заранее представить то, что получится в результате его усилий, возможность иметь образ будущего результата, образ того, что нельзя воспринять (ученик представляет ту комбинацию, которую он должен получить в результате, - трехэтажная пирамидка из разноцветных колечек, и может определить число таких комбинаций: если каждое колечко используется по 2 раза на каждом этапе, а их (колечек) всего 3, то пирамидок будет 6:2 + 2 + 2;

2) возможность ученика планировать путь достижения поставленной цели, разработать (мысленно) способ получения предметного результата в данных конкретных условиях (в нашем мире - ученик выбирает путь систематического перебора, один из его вариантов - прямое изображение комбинаций; ученик мог выбрать и другой способ решения, более «высокого» уровня, - воспользоваться деревом решений.

Итак, формирование у младших школьников способности комбинировать (возможности создавать разные сочетания, комбинации объектов или их элементов) тесно связано с развитием ВИД. Ведь само комбинирование направлено на поиск различных вариантов решения задачи, на разработку разных способов достижения цели, что связано с внутренним планированием.

Уровень сформированности этой способности в начальных классах обозначают как частичный: младшие школьники могут мысленно оперировать знаками, сопоставлять размещение элементов. При этом частичном уровне сформированности способности действовать «в уме» ученики начальных классов могут спланировать последовательные перемещения элементов с учетом предыдущих действий, но при этом решение задач планируется не в целом, а по частям, т.е. не разрабатывая общего плана действий, а подготавливая каждое действие.

Для выявления различий в мыслительной деятельности психологи используют такие качества (свойства) мышления, как самостоятельность, критичность, глубина, быстрота, гибкость, вариативность.

Глубина мышления - способность анализировать, сравнивать, находить существенное, проникать в сущность вопроса. Глубокому уму свойственна потребность понять причины возникновения явлений и событий, умение предвидеть их дальнейшее развитие, умение доходить во всяком до сути дела, не успокаиваясь на поверхностном объяснении.

Быстрота мышления - способность человека быстро обдумывать и принимать верное решение.

Критичность мышления - умение объективно оценивать свои и чужие мысли тщательно и всесторонне проверять все выдвигаемые положения и выводы.

Гибкость мышления выражается в свободе мысли от сковывающего влияния закрепленных в прошлом опыте приемов и способов решения задач, в умении быстро менять свои действия при изменении обстановки, находить новые пути решения задач, в умении отказаться от стереотипного способа действия и даже в знакомой ситуации выделить новые свойства и отношения объектов. Эта способность перестраивать имеющиеся способы действия зависит от умения ребенка выделять в средствах мыслительных действий, которыми он уже владеет, новые средства и отношения, применять эти средства в новых ситуациях.

Вариативность мышления - направленность мыслительной деятельности на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специального указания на это. Под вариативностью мышления понимают также умение находить разнообразные способы преобразования объекта, другие качества.

По мнению Л.В. Занкова, основным направлением математической подготовки должно стать развитие таких свойств мыслительной деятельности, как гибкость и быстрота реакций, «...когда речь идет о мышлении, на первый план обычно выдвигается вопрос об усвоении знаний и понятий. Говорится также о процессах сравнения и обобщения. Но особое значение приобретает одна особенность мышления, которая до настоящего времени оставалась в тени. Мы имеем в виду рассмотрение одного и того же предмета с разных точек зрения».

Гибкость мышления «зависит от умения сравнивать объекты, сознательно находить новые признаки в них, рассматривая с разных сторон.

По мнению психологов, структуру гибкости мышления составляют ее средства - представления ребенка и мыслительные действия, позволяющие оперировать ими. Мыслительные действия включают анализ признаков объекта, ориентировку на существенные в данной ситуации признаки, выявление различия и сходства, причинно - следственных связей и зависимостей, установление закономерностей.

В исследованиях Е.С. Ермаковой установлено, что математические задачи, связанные с анализом свойств и связей для разных ситуаций, особенно эффективны для развития такого качества мышления, как гибкость.

Обобщая изложенный материал, можно сделать следующие выводы:

1. Процесс решения комбинаторных задач требует адаптивного использования таких приемов умственных действий, как анализ, синтез и сравнение. Так, при использовании метода перебора при перечислении всех возможных вариантов решения комбинаторной задачи учащиеся используют такие мыслительные операции, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстракция и др. Поэтому при систематическом использовании комбинаторных задач на уроках математики несомненно будут развиваться указанные мыслительные операции.

2. Целенаправленное обучение решению этого вида задач будет способствовать развитию многих качества мышления, особенно таких как вариативность, гибкость, глубина мышления. Решая задачи такого вида, учащиеся должны найти различные решения, разнообразные способы реального преобразования объекта, т.е. должны проявить креативность мышления, а также гибкость, глубину мышления. Кроме того вариативность здесь выступает как важнейшая характеристика поисковой деятельности, которая является основой продуктивной деятельности в учении.

Необходимо сказать о том, что умение составлять комбинации по определенным признакам и классифицировать их, лежит в основе разнообразнейших сфер человеческой деятельности. Поэтому вариативность - качество, необходимое людям разных специальностей: учителю, составляющему расписание уроков, конструктору, программисту, инженеру-строителю, химику, биологу и др. Вариативность играет важную роль и в творчестве; известный математик А. Пуанкаре обращал внимание на то, что «творчество, конечно, состоит не в том, чтобы составлять бесконечные комбинации, а в том, чтобы создавать полезные, а таких не особенно много. Творить - это значит различать, выбирать».

3. При решении комбинаторных задач дети учатся рассуждать четко, логично, последовательно. Особенно ярко это проявляется в рассуждении при построении графа - дерева, или «логического дерева решений».

А в нашу эпоху ускоренного роста науки и техники, автоматизации и компьютеризации способность мыслить логично, формально, точно, определенно становится одним из необходимых признаков научной деловой культуры.

4. Используя комбинаторные задачи, можно развивать мышление детей от наглядно-действенного к наглядно-образному и абстрактному. Так, первые комбинаторные задачи должны давать возможность выполнять практические действия с реальными объектами. Постепенно осуществляется перенос наглядного приема в мысленную сферу, т.е. происходит развитие наглядно-образного мышления. А при применении правил суммы и произведения будет развиваться абстрактное мышление.

5. Систематическое решение комбинаторных задач, находящихся в тесной связи с программным содержанием, будет оказывать положительное влияние и на развитие других психических процессов. Так, будет значительно расширяться объем и концентрация внимания, развиваться память, вырабатываться умение оформлять свои рассуждения, объяснения, доказательства в словесной форме, т.е. развиваться речь.

 

АВТОР: Виноградова Е.П.