09.03.2012 6388

Математические системы как средство изучения математических дисциплин в вузе

 

В настоящее время многие российские вузы используют в своем учебной процессе Интернет. Принимаются государственные программы, направленные на развитие информационных технологий в образовании. Возможность и необходимость использования Интернет-технологий при преподавании фундаментальных наук сейчас уже не нужно пропагандировать. Успешное освоение современных научных концепций невозможно до тех пор, пока студент не изучит соответствующий теоретический материал, не научится строить содержательные математические модели реальных процессов. В том числе для успешного усвоения математических дисциплин. Для этого предлагается использование одной из существующих развитых многофункциональных математических систем, MAPLE, активно применяемой в исследовательской работе, и ее адаптация к образовательным проблемам.

Методика проведения занятий такова: учащиеся перед началом занятия получают развернутое описание работы, в котором изложена цель занятия, приводятся описания необходимых команд из MAPLE, а также задания, которые надо выполнить и написать ответ. Эти работы можно рекомендовать и студентам младших курсов университетов, изучающим основы высшей математики.

Почему был выбран именно MAPLE, ведь существуют и другие мобильные системы примерно с теми же возможностями, например, MATEMATICA, MACSYMA? Причина кроется в том, что MAPLE более приспособлен для компьютеров, распространенных в образовательных учреждениях России, он может работать на компьютерах с оперативной памятью 4 Мб и требует меньше дискового пространства. Кроме того, он имеет более дружественный интерфейс, т.е. более простой и понятный синтаксис команд по сравнению с упомянутыми системами. Гораздо удобней реализованы графические и анимационные средства.

Идея использования математических систем в образовательных целях не нова, несколько лет назад в Интернете были обнаружены страничка с заданиями по математике для студентов колледжа Lafaette в г. Истон штат Пенсильвания. Они были подготовлены в виде note-books для системы MATEMATICA, т.е. в виде файлов, прочитываемых самой системой. Студенты по этой методике, загрузив соответствующее задание, должны были прочесть с экрана указания и исполнить их, а также ответить на вопросы.

Большинство математических систем, используемых при работе с компьютерами, являются численными системами. Они превращают компьютер в большой программируемый калькулятор, способный быстро и автоматически (по введенной программе) выполнять арифметические операции. Их результат всегда конкретен - это или цифра, или поток цифр, представляющих таблицы, матрицы или точки графиков. Разумеется, компьютер позволяет выполнять такие вычисления с немыслимой ранее скоростью и порою точностью и выводить их результаты в виде хорошо оформленных графиков. Впрочем, очень редко результаты вычислений бывают абсолютно точными: как правило, при операциях с вещественными числами происходит их округление. Реализация большинства численных методов, например решения нелинейных или дифференциальных уравнений, также базируется на заведомо приближенных численных методах. Часто из-за накопления погрешностей эти методы «расходятся», давая неверные решения или даже ведя к полному краху вычислительной работы. Условия, при которых это наступает, не всегда известны и их оценка трудоемка.

Многие ученые справедливо критиковали численные математические системы за частный характер получаемых с их помощью результатов. Как правило, из них невозможно сделать каких - либо общих выводов. Поэтому, прежде чем использовать такие системы в реализации сложных научных проектов, приходилось прибегать к дорогой и недостаточно оперативной помощи математиков-аналитиков. Именно они решали нужные задачи в аналитическом виде и предлагали более или менее приемлемые методы численного решения их.

Символьные операции - это как раз то, что кардинально отличает систему Mathematica 2(и подобные ей символьные математические системы) от систем для выполнения численных расчетов. Выражения, представленные в символьной виде, отличаются высокой степенью общности.

К примеру, равенство sin(x)A2 + cos(x)A2 = 1 справедливо при любых значениях аргумента х. Этот результат можно проверить с помощью систем численной математики, задав ряд конкретных значений х и вычислив сумму квадратов синуса и косинуса. Однако всякий раз мы будем получать частный результат, не имея никакой гарантии в том, что он действительно справедлив при любом значении х. К тому же результат нередко может оказаться равным 0.9999999 или 1.0000001, так что лишь наша фантазия округляет его до точной единицы. Это как раз то, что абсолютно недопустимо в действиях профессионала-математика!

Попытка вычислить в общем виде выражение sin(x)A2 + cos(x)A2 с помощью численных математических систем или программ на обычных языках программирования к успеху не приведет. Вместо ожидаемого результата появится сообщение об ошибке вида: «Переменная х не определена!». Компьютер будет ждать ввода конкретного значения для х. Так будет независимо от того, запрограммировали вы вычисления на простеньком Бейсике или языке профессионалов - программистов С++. И лишь системы символьной математики при вычислениях дадут долгожданное значение.

Можно сказать, что даже самые мощные системы для численных расчетов являются полными «дебилами» в символьной математике. Они лишены элементарного разума, что видно уже из приведенного примера - даже школьник знает, что сумма квадратов синуса и косинуса равна 1 при любом аргументе х. А что говорить о столь распространенных аналитических вычислениях как упрощение математических формул, вычисление пределов, производных и первообразных функций, разложении их в ряды Тейлора и Фурье, вычислении корней многочленов с буквенными коэффициентами и т.д.?

Таким образом, за пределами возможностей численных математических систем оказались обширные области математики, связанные с проведением аналитических расчетов - от простых подстановок до аналитической обработки математических выражений и функций и обучения компьютера новым математическим закономерностям и соотношениям. Всей этой работой, относящейся, в основном, к разделам аналитической элементарной и высшей алгебры, и были вынуждены заниматься математики-аналитики. В силу сугубо творческого характера их труда, нередко находящегося на грани творческого озарения, такие специалисты всегда относились к элите научных работников, высоко ценимой в странах с высокоразвитой промышленностью и наукой. Они одни из первых поняли необходимость автоматизации своего труда компьютерами.

В начале 60-х годов началась эра освоения символьной математики компьютерами. Появилось новое научное направление - компьютерная алгебра. К сожалению, книги по этому направлению (например, изданные у нас маленькими тиражами) способны лишь отпугнуть, обычного пользователя от изучения возможностей компьютерной алгебры в силу перенасыщено их узко-специальным теоретическим материалом. Он, безусловно, интересен математикам разработчикам систем компьютерной алгебры, но отнюдь не большинству их пользователей. Относящиеся к большинству пользователи заинтересованы в том, чтобы корректно выполнить аналитические преобразования, вычислить в символьном виде производную или первообразную заданной функции, разложить ее в ряд Тейлора или Фурье, выполнить аппроксимацию и т.д., а вовсе не в детальном математическом описании того, как это делается.

Здесь та же ситуация, что и с телевизором или радиоприемником: большинство из нас пользуется этими аппаратами, вовсе не интересуясь тем, как они выполняют свои непростые функции. Это тем более важно в связи с тем, что предметные области, представляющие интерес для пользователя (будь он математик, физик, биолог или химик), сами по себе перегружены своим математическим аппаратом. Словом, большинству пользователей нужны системы компьютерной алгебры в качестве простого и удобного инструмента для работы, а не в виде подобия головоломок или ребусов, требующих массы времени на разгадку их таинств. Поняв эту истину, многие западные фирмы приступили к созданию компьютерных систем символьной математики, ориентированных на широкие круги пользователей - не профессионалов в компьютерной алгебре. Учитывая невероятно большую сложность автоматизации решения задач в аналитическом виде (число математических преобразований и соотношений весьма велико и некоторые из них неоднозначны), первые подобные системы удалось создать лишь для больших ЭВМ.

Но затем появились и системы, доступные для мини ЭВМ. Заметное развитие получили языки программирования для символьных вычислений Reduce и наш Аналитик, система muMath для малых ЭВМ, а в дальнейшем - интегрированные системы символьной математики для персональных компьютеров Derive, MathCAD 3.0/4.0/5.0/PLUS 5.0, Mathematica 2 и MapleV.

У нас доля систем символьной математики (компьютерной алгебры) в инструментарии современного научного работника, студента или преподавателя вуза пока ничтожно мала. И это самым отрицательным образом сказывается на эффективности их труда и на качестве создаваемой и выпускаемой продукции.

Этому есть ряд причин. Одна из них - принципиально неверная оценка значимости, полезности и необходимости систем символьной математики. По сей день, у нас встречаются поспешные утверждения, чуть ли не о вреде таких систем в процессе образования. Некоторые педагоги все еще полагают, что системы символьной математики отучают школьников и студентов думать о математической сущности задач. Как правило, это утверждают те, кто никогда всерьез не работал ни с одной из таких систем и судит о них, как дилетант.

Впрочем, эту причину трудно считать серьезной - достаточно вспомнить, что совсем недавно вредными признавались и электронный калькулятор, ибо он отучал пользователей от хранения в своей голове таблицы умножения, и авторучка, не позволяющая писать каллиграфическим почерком с переменным нажимом на перо. Математика непрерывно развивается, и ни один самый способный ученик не в состоянии (и слава Богу!) вместить в извилины своего мозга все математические законы и правила, созданные за всю многовековую историю человечества.

Сотни лет назад такие задачи как решение квадратного уравнения были в числе труднейших математических задач, а сейчас их «щелкают» даже школьники. Так что нет ничего страшного в том, что в наш просвещенный век вычисление производных или первообразных функций в аналитическом виде берет на себя компьютер.

Сейчас слова «компьютерный разум» обычно берут в кавычки, всячески подчеркивая, что компьютер сам по себе не способен дать новые результаты - т.е. те, которые не были заранее заложены в него человеком, его создавшим. Применительно к системам символьной математики такая аргументация не вполне приемлема. Однако результат сложных символьных преобразований даже по известным правилам может быть новым, ранее не известным и заранее не предсказуемым. Он может сам по себе оказаться открытием или навести пользователя - серьезного научного работника на открытие новых закономерностей в исследуемых им явлениях. К тому же современные системы компьютерной алгебры способны к расширению - в них можно вводить новые закономерности и связи, а затем исследовать результаты их действия. Так что вполне допустимо считать такие системы в известной мере разумными. В конечном же счете, математические системы - не более чем удобный и мощный инструмент для учащегося, педагога, инженера или научного работника. Как его применять (в методическом, научном и практическом отношении), зависит уже от пользователя. Важно, что системы символьной математики снимают у учащихся психологический барьер в реальном применении математики - особенно высшей. А инженерам и ученым помогают в решении достаточно сложных математических задач.

Однако эффективное применение систем компьютерной алгебры практически невозможно без четкого понимания основ элементарной и высшей математики. Невозможно оно и без творческого участия пользователя, как в постановке задач, так и контроле и отборе результатов их решения. Здесь вполне уместно сравнить работу с такими системами с работой художника. Всякий (даже наш предок - обезьяна) может попытаться нанести краски на холст или заполнить ими экран дисплея ПК - но что из этого получится? В лучшем случае та мазня, которую мы видим в первые минуты работы с графическим редактором PaintBrush. Лишь художник с его художественной интуицией и пониманием основ художественного творчества способен создать не просто мазню, а произведения искусства, волнующие его современников и потомков. Так же обстоит дело и с применением систем компьютерной алгебры.

Без математического чутья и знаний можно получить лишь математические - хаотические преобразования и никому ненужные результаты. Подчас в виде сложнейших математических выкладок, занимающих десятки страниц - к этому нередко ведет такая особенность символьных систем как разбухание результатов символьных операций. Лишь пользователь, владеющий математической культурой и знаниями в своих предметных областях, способен направить результаты работы символьных систем в нужное русло - получение практически ценных и нередко новых и интересных результатов.

Ситуация осложняется тем, что, как и люди-математики, системы компьютерной алгебры могут делать ошибки. Для их выявления стоит попробовать решить заданную задачу или ключевые ее части с помощью различных систем компьютерной алгебры или воспользоваться известными аналитическими решениями схожих задач. Нередко результат решения разительно отличается от приведенного в справочниках из-за различного подхода к его упрощению. В таких случаях полезно проверить тождественность этих результатов.

Словом, проверка решения - важный этап в работе с системами компьютерной алгебры. Он требует понимания математической сути решаемой задачи.

Математические системы широко применяются в системе образования передовых западных стран. Их освоение в нашей системе образования позволит всерьез говорить об интеграции нашей системы образования в мировую систему и о серьезном повышении роли фундаментального математического образования.

Сейчас уже ясно, что конкурентоспособные системы символьной математики у нас, в силу экономической ситуации, не появятся в обозримом будущем. Эта печальная действительность делает особенно актуальным освоение нашими учеными, педагогами и учащимися западных новейших систем компьютерной алгебры. К таковым и относится система Mathematica 2.

 

АВТОР: Потехина Е.В.