Контрольная работа: Теория вероятностей и статистика - 14 задач (m=1, n=3)

План работы:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ m=1, n=3. 3.28. Случайные события. 3.28.1. В коробке находятся 3 синих, 6 красных и 7 зеленых карандашей. Одновременно вынимают 12 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет 2 синих и 4 красных.

3.28.2. В первой урне находятся 3 шара белого и 3 шара черного цвета, во второй - 4 белого и 3 синего, в третьей - 6 белого и 2 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

3.28.3. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна 4/6. Производится 6 выстрелов. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

3.29. Случайные величины.
3.29.1. Случайная величина X равна числу появлений «герба» в серии из 6 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x) этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MX и дисперсию DX; построить график F(x).

3.29.2. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

хi	-2	-1	0	1	4
pi	0,2	0,1	0,2	p4	p5

Найти вероятности р₄, р₅, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX = -0,5+0,5*1+0,1*3=0,3.

3.29.3. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0\quad \quad \quad \quad \quad {\rm{}} - \infty < x \le 1 \\ \frac{{A \cdot \left( {x - 1} \right)}}{3}\quad \;\;{\rm{ }}\;\;1 < x < 4 \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad {\rm{ }}\quad 4 \le x < + \infty \\ \end{array} \right.\] Найти:
а) параметр A;
б) функцию распределения F(x);
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал (2,5; 5);
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.
построить графики функций f(x) и F(x).

3.29.4. Случайные величины ξ₁, ξ₂, ξ₃ имеют равномерное, пуассоновское и показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожидания Mξ=4, а дисперсия Dξ=3. Найти вероятности: а) P(0≤ξ₁≤2); б) P(0≤ξ₂≤2); в) P(3≤ξ₃≤4).
13. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.:

№ предприятия	Выпуск продукции	Прибыль	предприятия	Выпуск продукции	Прибыль
1	63	15,7	16	52,0	14,6
2	78,0	18,0	17	62,0	14,8
3	41,0	12,1	18	69,0	16,1
4	54,0	13,8	19	85,0	16,7
5	63	15,5	20	73	15,8
6	23	14	21	71,0	16,4
7	45,0	12,8	22	33	23
8	57,0	14,2	23	72,0	16,5
9	67,0	15,9	24	88,0	18,5
10	83	17,6	25	73	16,4
11	92,6	18,2	26	74,0	16,0
12	48,0	9	27	96,0	19,1
13	59,0	16,5	28	75,0	16,3
14	68,0	16,2	29	101,0	19,6
15	83	16,7	30	73	17,2

Задание 13.1.
13.1.1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.

13.1.2. Рассчитайте числовые характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую x, среднее квадратическое отклонение σ(X), дисперсию, коэффициент вариации V. Сделайте выводы. Задание 13.2.
13.2.1. Определите границы, в которых с вероятностью 0,997 заключена сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.

13.2.2. Используя χ²-критерий Пирсона, при уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X - сумма прибыли - распределена по нормальному закону.
Задание 13.3.
13.3.1. Установите наличие и характер корреляционной связи между выпуском продукции (X) и суммой прибыли на одно предприятие (Y). Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии.

13.3.2. Определите коэффициенты уравнения регрессии y_x=b₀+b₁x.

13.3.3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами X и Y, используя шкалу Чеддока.